Triângulo de Pascal, potências de 11 e algoritmo da soma

É isso mesmo: algoritmo da soma. Procurei na internet, livros,... mas não achei ninguém que fizesse alguma alusão ao algoritmo da soma no caso das potências de 11 e o triângulo de Pascal, mas apenas ao binômio de Newton. Pois bem, desde já, peço desculpas pela falta da referência caso alguém já tenha mostrado tal resultado.
Sabemos que o triângulo de Pascal é dado por:

1ª linha: 1
2ª linha: 1, 1
3ª linha: 1, 2, 1
4ª linha: 1, 3, 3, 1
5ª linha: 1, 4, 6, 4, 1
6ª linha: 1, 5, 10, 10, 5, 1

Não entrarei em detalhes sobre o triângulo porque esse não é o intuito. Como pode-se perceber, até a 5ª linha, tem-se que os números do triângulo são exatamente os algarismos das primeiras potências de 11, isto é,

11 elevado a zero = 1
11 elevado a um = 11
11 elevado a dois = 121
11 elevado a três = 1331
11 elevado a quatro = 14641

O problema surge a partir da 6ª linha: Como calcular 11 elevado a cinco pelo triângulo de Pascal? Usando a ideia do algoritmo da soma, ou seja, se o número tem dois dígitos, passa-se o dígito da esquerda para a "casa" da esquerda (isso começando do número mais a direita).
Por exemplo, pegue a sexta linha.

1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 5, 10+1=11 , 0, 5, 1
1, 5+1=6, 1, 0, 5, 1

Daí, temos o valor para 11 elevado a 5: 161051.
Para as demais linhas, o raciocínio é o mesmo.

Combinação ou raciocínio?

Deparei-me com um problema de análise combinatória que, aparentemente, seria simples, mas me enganei quando resolvi pensar um pouco além.

Em um campeonato de xadrez, um participante joga uma única vez com cada um dos outros. Sabendo que foram realizadas 66 partidas, quantas pessoas participaram do campeonato?

Usando combinação, o problema torna-se óbvio:

C(n,2)=66
n!/(2!(n-2)!)=66
n(n-1)/2=66.

Daí, temos uma equação do 2º grau e sua raiz positiva é a resposta do problema: 12 participantes.
O problema fica complicado quando você não quer usar o conceito de combinação propriamente dito, mas apenas o princípio fundamental da contagem. Suponha que temos n-jogadores: A1,A2,...,An. Cada um deles jogará apenas uma vez com os demais, então temos (n-1)+(n-2)+...+2+1 partidas no total. Daí,

 66 = (n-1)+(n-2)+...+2+1.

Veja que podemos simplificar a última equação: 1-1, 2-2, 3-3,... O grande problema é saber onde isso acaba. Pois bem, sabe-se que, para cada n-m, existe um m correspondente na soma. Logo, teremos uma soma apenas com n's:

 66 = n+n+n+...+n

Resta saber quantos n's existem. A1 fará (n-1) partidas, de A2 conta-se (n-2) partidas (pois a partida com A1 já foi contabilizada),..., de A(n-1) conta-se uma partida. Ou seja, temos (n-1)/2 parcelas n na última equação (a divisão por dois vem do fato que metade das parcelas não tem n, mas apenas o número em si). Portanto,

 66 = n+n+n+... = n(n-1)/2

 que é a mesma equação encontrada usando o conceito de combinação.

Contagem regressiva (atualizada)

Bloxorz

Tive que criar este post dedicado e esse ótimo jogo de raciocínio lógico e geometria.
Parabéns aos criadores. Um jogo inteligente e viciante

http://www.albinoblacksheep.com/games/bloxorz

Férias

Método da Tabelinha

A tabelinha é um método contraceptivo (pelo menos é o que dizem por aí). Esse método consiste em não ter relações sexuais quando a mulher está no seu período fértil e é indicado somente às mulheres que possuem um ciclo menstrual regular.
O ciclo menstrual tem 28 dias e a o ovulação acontece por volta do 14º dia. Como a ovulação tem uma margem de erro de 5 dias então a mulher deve evitar relações do 9º ao 19º dia do ciclo, ou seja, em 28-11=17 dias do mês ela poderá fazer o que quiser, certo? Errado! Temos que levar em conta a menstruação que dura, em geral, uma semana. Portanto, a mulher pode manter relações em 18-7=11 dias, certo? Errado! Depois da ovulação, temos a TPM. Este período é o mais delicado (para os homens). Depois que as mulheres ovulam, a produção dos principais hormônios femininos começa a cair e a elas tornam-se instáveis (vão do choro ao riso em segundos). Como este período começa logo após a ovulação, é natural que dure do 15º ao 28º dia do ciclo. Porém, como a queda dos níveis de hormônios não é tão rápida (nem todo mês), temos que a TPM dura por volta de 7 dias. Logo, a mulher consegue manter relações em 11-7=4 dias do ciclo, certo? Errado! Estes 4 dias são aqueles logo após a menstruação ir embora e, neste período, quem não quer é homem pois está exaurido de tanto limpar lágrimas/brigar/satisfazer os desejos gustativos da TPM.
Depois de fazer as contas, nota-se que não sobrou nenhum dia, certo? Errado! Pois o ciclo menstrual tem 28 dias mas o mês tem até 31. Fevereiro: Sem chance! A menos que o ano seja bissexto. Nos demais, a mulher tem 31-28=3 dias, certo? Errado! Estes são os dias em que o casal visita os parentes.
Em resumo, este método serve somente para a concepção e não para a prevenção. Aliás, note que tal método é o melhor para contracepção uma vez que não permite ao casal a menor chance para engravidar e nem mesmo copular

Que merda!

Lembro-me de ter visto algo parecido com estas contas atrás da porta de um banheiro do departamento de matemática e pensei: "Por que não refazê-las aqui?"
Supondo que o volume fecal médio evacuado por um ser humano adulto fique em torno de 400 gramas diários então, em um ano, ele evacuará 365 . 0,4 = 146 quilos.
Como um recém nascido "vai ao banheiro" várias vezes ao dia e crianças comem muita besteira, vamos considerar que eles têm o mesmo volume fecal diário que um adulto. Daí, como a média de vida dos brasileiros é algo em torno de 73 anos então, cada brasileiro evacua, em média, 73 . 146 = 10658 quilos durante a sua vida. Um VW Fusca pesa 800Kg e isso nos leva a crer que um ser humano evacue mais de 13 Fuscas em 73 anos.
A população brasileira atual é de, aproximadamente, 191.000.000 de habitantes. Logo, em 73 anos, será "fabricado" 2.035.678.000 toneladas de fezes humanas. Levando-se em conta que o peso máximo de decolagem de um Boeing 747 é de 396.890 kg então a população brasileira fabricará mais de 5.129.073 Boeings em 73 anos.

Porém, há algo que me intriga: Para onde vai essa merda toda?