Combinação ou raciocínio?

Deparei-me com um problema de análise combinatória que, aparentemente, seria simples, mas me enganei quando resolvi pensar um pouco além.

Em um campeonato de xadrez, um participante joga uma única vez com cada um dos outros. Sabendo que foram realizadas 66 partidas, quantas pessoas participaram do campeonato?

Usando combinação, o problema torna-se óbvio:

C(n,2)=66
n!/(2!(n-2)!)=66
n(n-1)/2=66.

Daí, temos uma equação do 2º grau e sua raiz positiva é a resposta do problema: 12 participantes.
O problema fica complicado quando você não quer usar o conceito de combinação propriamente dito, mas apenas o princípio fundamental da contagem. Suponha que temos n-jogadores: A1,A2,...,An. Cada um deles jogará apenas uma vez com os demais, então temos (n-1)+(n-2)+...+2+1 partidas no total. Daí,

 66 = (n-1)+(n-2)+...+2+1.

Veja que podemos simplificar a última equação: 1-1, 2-2, 3-3,... O grande problema é saber onde isso acaba. Pois bem, sabe-se que, para cada n-m, existe um m correspondente na soma. Logo, teremos uma soma apenas com n's:

 66 = n+n+n+...+n

Resta saber quantos n's existem. A1 fará (n-1) partidas, de A2 conta-se (n-2) partidas (pois a partida com A1 já foi contabilizada),..., de A(n-1) conta-se uma partida. Ou seja, temos (n-1)/2 parcelas n na última equação (a divisão por dois vem do fato que metade das parcelas não tem n, mas apenas o número em si). Portanto,

 66 = n+n+n+... = n(n-1)/2

 que é a mesma equação encontrada usando o conceito de combinação.