Hoje, fui surpreendido por uma pergunta de um aluno de 6ª série. Ele me perguntou "por que a soma de dois números ímpares sempre é par?". Pois bem, parei a correção dos exercícios de equações do 1º grau só para explicá-lo.
Existe uma aplicação injetiva entre os números inteiros e os números ímpares. Para cada número natural n, existe um número ímpar 2n +1 correspondente. Por exemplo, para n=3 temos o número ímpar 2.3+1=7. Daí, voltando a questão inicial, considere os números ímpares 2n+1 e 2m+1. Segue que
(2n+1)+(2m+1) = 2n+2m+2.
Os números pares podem ser definidos pelos números inteiros que são divisíveis por 2. No nosso caso, é exatamente o que acontece já que
(2n+2m+2):2 = n+m+1,
ou seja, a soma de dois números ímpares é divisível por dois. Logo, é um número par.
O mesmo pode ser feito se a pergunta fosse "por que a soma de dois números pares é um número par" ou "por que a soma de um número ímpar com um número par é um número ímpar".
Confesso que nunca havia pensado nisso mas a demonstração veio imediatamente em minha cabeça. Porém, o mais fascinante foi a pergunta e não resposta. Jamais esperava que tal questão viesse de um aluno tão jovem e, pelo visto, com uma certa admiração pela Teoria dos Números.
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