Prova da fórmula de Bhaskara? não era só para decorar a fórmula?

Sempre me perguntei do porquê professores de ensino médio e fundamental evitam as demonstrações de propriedades matemáticas. Propriedades matemáticas que havia decorado em meu ensino básico só foram, em sua absoluta maioria, provadas quando fiz graduação. Outras, eu mesmo deduzia já que não me foram apresentadas.
É certo que algumas propriedades como, por exemplo, a fórmula do vértice de uma parábola ou o Princípio de Cavalieri necessitam de uma teoria mais aprofundada e, de fato, tais demonstrações devem ser omitadas. Porém, demonstrações como a prova da fórmula de Bhaskara e a prova do teorema de Pitágoras não têm nenhum problema que impeça de tais demonstrações serem apresentadas para uma sétima ou oitava série. Uma vez que tais demontrações só necessitam do conhecimento de produtos notáveis e áreas de figuras planas.
Abaixo, segue a prova da fórmula de Bhaskara, onde a,b,c são números reais (tal fórmula nos permite achar as duas soluções para uma equação do segundo grau).
Note que, nos cálculos acima, só foram necessários usar as técnicas de completar quadrados e produtos notáveis. Tais técnicas são facilmente visualizadas por um aluno de sétima ou oitava série.
Daí, novamente eu me pergunto: por que não demonstrar? será que viveremos eternamente em uma educação de decorar fórmulas?

Perguntas intrigantes sobre o futebol

Estava assistindo um jogo de futebol e notei que, em determinado momento da partida, as jogadas concentravam-se todas por uma pequena extensão da lateral esquerda e consequentemente os jogadores por aquele setor aumentavam a cada momento. Na mesma hora, me perguntei: por que não virar o jogo, tocar a bola e usar toda a extensão do campo?

Segundo as regras, as dimensões de um campo de futebol variam de 90 a 120 metros de comprimento por 75 a 90 metros de largura. Daí, a área de um campo de futebol varia de 90m . 75m = 6750 m² a 120m . 90m = 10800m² e a área por jogador em campo varia de 306,8m² a 490,9m². Ou seja, no estádio do Maracanã (por exemplo) que tem as maiores medidas possíveis, cada jogador tem quase meio quilômetro de área só para ele. Portanto, como ninguém tem um pulmão tão eficiente assim, quando o técnico grita para "virar o jogo" ou "faça a bolar rolar e corra menos" então ele tem razão pois não faz o menor sentido aproveitar-se apenas de uma pequena extensão de terra e facilitar a marcação.

Uma outra pergunta que me faço constantemente e não obtenho resposta: por que jogadores de futebol conseguem chutar tantas bolas para fora do gol? tá certo que depende da distância pois o ângulo de ação diminui a medida que afastamos o gol do local de chute e também depende das condições de jogo (como gramado, chuva, vento,...) mas esses caras fazem isso desde moleques e fazem treinos antes do jogo (pelo menos, eu acho). Pois bem, as dimensões de um gol de futebol devem ser de exatamente 2,44m de altura e 7,32m de largura e, consequentemente, a sua área é 2,44m . 7,32m = 17,86m². Já a bola de futebol, tem como circunferência um mínimo de 68cm e máximo de 70cm. Portanto, tem uma área média do círculo de ação de 378,9cm². Observe que não calculamos a área total da bola mas apenas a área do círculo de atuação. Transformando isso para metros, 378,9.cm²= 0,03789m² é a área do círculo da bola. Logo, entre as traves e o chão, cabem 17,86/0,03789=471 bolas de futebol. Isso mesmo! são 471 bolas para preencher toda a área do gol.

Mesmo com isso em mente, percebi que é totalmente desnecessário um goleiro fazer isso

se um jogador, na maioria das vezes, faz isso

Valores de referência: www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/futebol.asp

Não tenha medo da Matemática. Tenha medo do Português.

Uma das coisas que eu mais admiro na matemática é o seu prazo de validade eterno. Se você provou algo e esta prova está correta então pronto! ninguém poderá chegar um dia e dizer que está errado ou passará a ser escrito de outra forma. Talvez mude uma notação mas a essência permanece. Por exemplo, nos tempos da Grécia antiga, Pitágoras mostrou que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. De lá para cá, continuamos estudando e aplicando tal teorema em situações cotidianas e ninguém falou que tal resultado não vale ou não seria mais usado ou que, a partir de hoje, a "regra" era outra.
Já o português é algo totalmente mutante. A todo momento, temos uma nova regra ou regras antigas não valem mais. O problema do Português são as "regras" que não são cumpridas. No Português, há a regra, a exceção a regra e a exceção da exceção da regra. E, para completar, as exceções e exceções das exceções são tão grandes (em número de casos) quanto as regras. Na minha opinião, isso não deveria se chamar "regra". Para completar, estamos em um momento de transição da língua portuguesa que já retira acentos, o trema (que, por sinal, nunca o usei) e o hífen de algumas palavras. Essa mudança foi justificada para unificar a escrita entre os países que usam a língua portuguesa porém, mesmo com tais mudanças, isso não irá ocorrer (isso é a cara do português: criar uma regra que não se aplica a tudo). Além disso, nem todos os professores concordam com tais mudanças e acham (assim como eu) desnecessárias. Em um video do UOL, o professor Pasquale toca justamente neste assunto e vale a pena assistir.
Apesar de tudo, não estou incentivando ninguém a parar de estudar o Português mas apenas demonstrando o quanto amo a Matemática. A minha idéia (ops! ditongos abertos com ei não tem mais acento portanto é "ideia") aqui é mostrar as diferenças e deixar claro a todos como a Matemática é mais simples do que o Português.

Uma outra sequência

Esta, eu recebi por email. No corpo da msg falava que o engenheiro resolvia a questão em 3 minutos, o médico em 3 horas, blábláblá.... porém, não colocaram o tempo que um matemático resolvia o problema. Bem, eu resolvi em menos de um minuto.
Sem mais delongas, vamos ao problema:
Na sequência 1, 2, 6, 42, 1806,... qual é o próximo número?
Tal sequência é definida por a(1)=1, a(2)=2, a(3)=6,... e o termo geral é dado por
a(n)=a(n-1) . (a(n-1)+1)
para n maior ou igual a 2.
De fato, a(2)=1.(1+1)=2, a(3)=2.(2+1)=6, a(4)=6.(6+1)=42, a(5)=42.(42+1)=1806.
Portanto, o próximo número é
a(6)=1806.(1806+1)=3263442
Mais que isso, como temos o termo geral, podemos obter qualquer número da sequência como o a(7), a(8),... e assim por diante.

Sequência

Fui desafiado a responder a seguinte pergunta:
Na sequência 2 , 10, 12, 16, 17, 18, 19,... qual é o próximo número?
Primeiro, eu gostaria de informar que eu resolvi esse problema (rsrsrs...). Segundo, como qualquer matemático, pensei em achar a razão de uma PA ou PG que envolvesse o problema mas notei que não fazia muito sentido. Finalmente, percebi que o próximo número da sequência é 200!
Esse exercício é um problema de lógica e não propriamente de matemática. Note que todos os números que aparecem na sequência começam com a letra "d". Daí, o próximo número a começar com a letra "d" é duzentos.

Quantos passos

Um problema muito bom que costumo fazer com os meus alunos para ensinar o conceito de limite:
Suponha que vc esteja a 1m de uma parede e a cada passo que se dê em direção a esta parede, anda-se metade da distância, ou seja:
1º passo -> 0,5m
2º passo -> 0,25m
3º passo -> 0,125m
e assim por diante.
Quantos passos são necessários para chegar a parede?
A resposta é simples. Como a pessoa anda metade da distância então ela nunca chegará a parede. Esta tal parede é o "limite".
A noção de limite é muito mais geral do que isso mas este exemplo é muito bom para explicar isso.

Um problema de construcao

O problema a seguir é muito mais uma questao de interpretacao de texto do que um problema de matemática:



Um tijolo pesa 1kg mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?



Para responder essa pergunta, suponha que o peso do tijolo é x. Montando a equacao do problema,



x=1+x/2

x-x/2=1

x/2=1

x=2



Portanto, o peso do tijolo é 2kg e um tijolo e meio pesa 2+1=3kg

Porcentagem

Um assunto muito simples mas sempre tráz dúvidas. Bem, vou tentar resumir ao máximo minhas explicacoes.
A porcentagem de um número A é definida por:
B% de A é dado por A*B/100.
Por exemplo, 20% de 30 é 20*30/100=6
A aplicacao mais usada para tal assunto está no comércio.
Por exemplo, suponha que uma bicicleta está sendo vendida com 5% de desconto a vista e o seu preco normal é 180 reais. Logo, seu desconto é de 180*5/100= 9 reais e o valor a ser pago com desconto será de 180-9=171 reais.
Em casos de acréscimo e prejuizo, a ideia é a mesma.

Matemáticos e a Ignorância

Sempre me recordo do que o personagem Cypher (Joe Pantoliano) do filme "The Matrix" disse: "A ignorância é uma benção". Será que realmente a ignorância é a melhor escolha?
Bem, na mesma hora me lembro de uma frase do Marcelo Gleiser em seu livro - A dança do Universo: "Conhecimento não necessariamente significa sabedoria mas a ignorância, definitivamente, não é uma boa opção".
Bem, um matemático sempre fica com a frase do Gleiser. Nós estudamos muito para usar pouco. Às vezes, lemos um livro inteiro durante dias, relemos e não usamos a sua teoria em nada. Porém, a falta de conhecimento sobre determinado assunto nos corroe e precisamos saber se, de fato, não precisamos daquilo.
Todavia, quando descobrimos que determinado assunto é necessário para nossa sobrevivência, estudamos o assunto não por dias mas por uma vida inteira. Nem sempre os resultados são tão surpreendentes mas faz parte do jogo. Como disse o Huntley em "A Divina Proporção": "A montanha pariu e deu a luz a um rato".Em resumo, quero dizer que, independente do assunto, a falta de conhecimento nos traz consequências drásticas a nossa vida e devemos arcar com elas caso sua escolha seja a ignorância. Faça sua escolha!

Aplicacao de MMC

Estava dando aula e me lembrei de um problema muito bom e simples para aplicacao de mmc:

Um determinado banco possui um cofre que tem dois sistemas de seguranca. Com tais dispositivos, o cofre abre somente em horários programados. Um deles abre o cofre a cada 36 minutos e o outro abre o cofre a cada 48 minutos. Em um dia, quantas vezes o cofre abre?

Sabemos que um dia possui 1440 minutos (24*60). Pelo primeiro (resp. segundo) sistema de seguranca, o cofre abre 1440: 36=40 vezes (resp. 1440:48=30 vezes).
Porém, deve ser observado que, em algum momento, o cofre pode ser aberto pelos dois sistemas de seguranca ao mesmo tempo, ou seja, estamos falando de múltiplos comuns a 36 e 48. Aqui entra o mmc! Sabemos que o mmc(36, 48)=144 logo 1440: 144=10 é o número de vezes que o cofre abre pelos dois sistemas ao mesmo tempo.
Portanto, o cofre abre 40+30-10=60 vezes ao dia.

É isso aí

Bem, vou escrever neste blog coisas da matemática. Assuntos intrigantes e curiosos. Sem mais palavras, vamos ao que interessa.